欧拉有哪些著作？

一、欧拉有哪些著作？

1．数论

欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。

2．代数

欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。

3．无穷级数

欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。

4．函数概念

18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。

5．初等函数

《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫佛（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式（这里i表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用i表示 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。

6．单复变函数

通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。

7．微积分学

欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。

8．微分方程

《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换 给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。

欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。

9．变分法

1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

10．几何学

坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。

微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。

欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。

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三、图论中桥的概念是什么

图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若

干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的

某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系

。

图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地

建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原始问

题有很强的实际背景。

图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格尔河上有七座桥将河中

的岛及岛与河岸联结起来，如下图所示，A、B、C，D表示陆地。

问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥正好一次，再回到起点。然

而无数次的尝试都没有成功。欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽象分析法将这

个问题化为第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接

相应的两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个「图」（如下图）。欧拉证明

了这个问题没有解，并且推广了这个问题，给出了对於一个给定的图可以某种方式

走遍的判定法则。这项工作使欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。

1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的

20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好

一次的闭回路，即「绕行世界」。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的

图中找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。由於运筹学、计算机科学

和编码理论中的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究。

在图论的历史中，还有一个最著名的问题——四色猜想。这个猜想说，在一个平面

或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的

颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的

边界，而不仅仅只有一个公共点。四色猜想有一段有趣的历史。每个地图可以导出

一个图，其中国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所

以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论

等分支的发展起到推动作用。